邏輯回歸（Logistic Regression）雖然名字中包含“回歸”，但它實(shí)際上是一種用于分類問題的統(tǒng)計(jì)方法。這種名稱上的混淆可能源于邏輯回歸與線性回歸的相似性，以及它在處理二分類問題時(shí)使用的數(shù)學(xué)形式。

邏輯回歸和線性回歸的目標(biāo)都是訓(xùn)練得到一條直線，不同的是，線性回歸的直線盡可能去擬合輸入變量X的分布，使得訓(xùn)練集中所有樣本點(diǎn)到直線的距離盡可能短（圖1）；而邏輯回歸的直線盡可能去擬合決策邊界，使得訓(xùn)練集樣本中不同類的樣本點(diǎn)盡可能分離開（圖2）。

圖1

圖2

可以簡單理解為：如果預(yù)測值是連續(xù)的，就是回歸問題；如果預(yù)測值是離散的，就是分類問題。為什么這么說呢？

邏輯回歸的目的是預(yù)測一個(gè)樣本屬于某個(gè)類別的概率。它通過應(yīng)用一個(gè)邏輯函數(shù)（也稱為sigmoid函數(shù)）將線性回歸的輸出映射到0和1之間的概率值。sigmoid函數(shù)的定義如下：

這個(gè)函數(shù)的輸出始終位于0和1之間，非常適合描述概率。

邏輯回歸模型通常用于二分類問題，其中輸出只有兩個(gè)可能值，例如“是”或“否”，“陽性”或“陰性”。模型的輸出是一個(gè)概率值，表示樣本屬于正類（通常標(biāo)記為1）的概率。我們可以設(shè)置一個(gè)閾值（通常為0.5），如果模型的輸出概率大于這個(gè)閾值，我們就將樣本分類為正類；否則，將其分類為負(fù)類（通常標(biāo)記為0）。

邏輯回歸模型的參數(shù)是通過最大化對數(shù)似然函數(shù)（也稱為交叉熵?fù)p失函數(shù)）來估計(jì)的，這個(gè)函數(shù)衡量的是模型預(yù)測的概率分布與實(shí)際標(biāo)簽之間的差異。

通過一個(gè)例子來解釋線性回歸和邏輯回歸。

線性回歸例子：假設(shè)你想預(yù)測房屋的價(jià)格。收集了一些數(shù)據(jù)，包括房屋的大小（平方英尺）、臥室數(shù)量、浴室數(shù)量以及位置等信息。你的目標(biāo)是建立一個(gè)模型，當(dāng)你有新的房屋信息時(shí)，可以預(yù)測它的價(jià)格。

你可以使用線性回歸來建立這個(gè)模型。線性回歸會尋找一個(gè)最佳擬合平面（在二維空間中是一條直線），通過最小化所有數(shù)據(jù)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂直距離的平方和來預(yù)測價(jià)格。模型的形式可能是：

其中，w0,w1,w2,w3,… 是模型參數(shù)，通過最小二乘法或其他優(yōu)化方法來確定。

邏輯回歸例子：假設(shè)你想預(yù)測一個(gè)客戶是否會購買房子。收集了一些客戶的數(shù)據(jù)，包括他們的年收入、年齡、婚姻狀況等信息。你的目標(biāo)是建立一個(gè)模型，當(dāng)有新的客戶信息時(shí)，可以預(yù)測他們購買房子的概率。

你可以使用邏輯回歸來建立這個(gè)模型。邏輯回歸不會直接預(yù)測一個(gè)連續(xù)的價(jià)格，而是預(yù)測一個(gè)客戶購買房子的概率。模型的形式可能是：

其中，P(Buy|Income,Age,MaritalStatus)是客戶購買房子的條件概率，w0, w1, w2, w3 是模型參數(shù)，通過最大化對數(shù)似然函數(shù)來確定。

在這個(gè)例子中，邏輯回歸的輸出是一個(gè)介于0和1之間的概率值。你可以設(shè)置一個(gè)閾值（例如0.5），如果模型的輸出概率大于這個(gè)閾值，就預(yù)測客戶會購買房子；否則，預(yù)測他們不會購買。

總結(jié)來說，邏輯回歸之所以屬于分類問題，是因?yàn)樗�的目的是根�?jù)輸入特征預(yù)測一個(gè)樣本屬于某個(gè)類別的概率，而不是預(yù)測一個(gè)連續(xù)的數(shù)值（如線性回歸所做的）。邏輯回歸的名稱可能會讓人誤解其為回歸方法，但實(shí)際上它是一種廣泛應(yīng)用于分類問題的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)方法。

看到這里，你是否覺得邏輯回歸只可以處理二分類問題呢？

答案當(dāng)然是否定的，既然可以處理二分類問題，那將多個(gè)二分類問題結(jié)合在一起，就可以處理多分類問題：

例如，想要預(yù)測一個(gè)水果是蘋果、香蕉還是橙子，可以訓(xùn)練三個(gè)邏輯回歸模型：

一個(gè)模型區(qū)分蘋果和其他水果。

一個(gè)模型區(qū)分香蕉和其他水果。

一個(gè)模型區(qū)分橙子和其他水果。

然后，根據(jù)這三個(gè)模型的輸出概率來決定這個(gè)水果最可能屬于哪個(gè)類別。在預(yù)測時(shí)，哪個(gè)模型的預(yù)測概率最高，就將實(shí)例分到哪個(gè)類別。

雖然邏輯回歸可以用于多分類問題，但在實(shí)踐中，還有其他模型如支持向量機(jī)、決策樹、隨機(jī)森林等，并且可能更加有效。