不同圖像灰度不同，邊界處一般會(huì)有明顯邊緣，利用此特征可以分割圖像。需要說明的是：邊緣和物體間的邊界并不等同，邊緣指的是圖像中像素的值有突變的地方，而物體間的邊界指的是現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中的存在于物體之間的邊界。有可能有邊緣的地方并非邊界，也有可能邊界的地方并無邊緣，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界中的物體是三維的，而圖像只具有二維信息，從三維到二維的投影成像不可避免的會(huì)丟失一部分信息；另外，成像過程中的光照和噪聲也是不可避免的重要因素。正是因?yàn)檫@些原因，基于邊緣的圖像分割仍然是當(dāng)前圖像研究中的世界級(jí)難題，目前研究者正在試圖在邊緣提取中加入高層的語義信息。

在實(shí)際的圖像分割中，往往只用到一階和二階導(dǎo)數(shù)，雖然原理上，可以用更高階的導(dǎo)數(shù)，但是，因?yàn)樵肼暤挠绊�，在純粹二階的導(dǎo)數(shù)操作中就會(huì)出現(xiàn)對(duì)噪聲的敏感現(xiàn)象，三階以上的導(dǎo)數(shù)信息往往失去了應(yīng)用價(jià)值。二階導(dǎo)數(shù)還可以說明灰度突變的類型。在有些情況下，如灰度變化均勻的圖像，只利用一階導(dǎo)數(shù)可能找不到邊界，此時(shí)二階導(dǎo)數(shù)就能提供很有用的信息。二階導(dǎo)數(shù)對(duì)噪聲也比較敏感，解決的方法是先對(duì)圖像進(jìn)行平滑濾波，消除部分噪聲，再進(jìn)行邊緣檢測(cè)。不過，利用二階導(dǎo)數(shù)信息的算法是基于過零檢測(cè)的，因此得到的邊緣點(diǎn)數(shù)比較少，有利于后繼的處理和識(shí)別工作。

各種算子的存在就是對(duì)這種導(dǎo)數(shù)分割原理進(jìn)行的實(shí)例化計(jì)算，是為了在計(jì)算過程中直接使用的一種計(jì)算單位；

Roberts算子：邊緣定位準(zhǔn)，但是對(duì)噪聲敏感。適用于邊緣明顯且噪聲較少的圖像分割。Roberts邊緣檢測(cè)算子是一種利用局部差分算子尋找邊緣的算子，Robert算子圖像處理后結(jié)果邊緣不是很平滑。經(jīng)分析，由于Robert算子通常會(huì)在圖像邊緣附近的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生較寬的響應(yīng)，故采用上述算子檢測(cè)的邊緣圖像常需做細(xì)化處理，邊緣定位的精度不是很高。

Prewitt算子：對(duì)噪聲有抑制作用，抑制噪聲的原理是通過像素平均，但是像素平均相當(dāng)于對(duì)圖像的低通濾波，所以Prewitt算子對(duì)邊緣的定位不如Roberts算子。

Sobel算子：Sobel算子和Prewitt算子都是加權(quán)平均，但是Sobel算子認(rèn)為，鄰域的像素對(duì)當(dāng)前像素產(chǎn)生的影響不是等價(jià)的，所以距離不同的像素具有不同的權(quán)值，對(duì)算子結(jié)果產(chǎn)生的影響也不同。一般來說，距離越遠(yuǎn)，產(chǎn)生的影響越小。

Isotropic Sobel算子：加權(quán)平均算子，權(quán)值反比于鄰點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離，當(dāng)沿不同方向檢測(cè)邊緣時(shí)梯度幅度一致，就是通常所說的各向同性。

在邊沿檢測(cè)中，常用的一種模板是Sobel 算子。Sobel 算子有兩個(gè)，一個(gè)是檢測(cè)水平邊沿的；另一個(gè)是檢測(cè)垂直平邊沿的。Sobel算子另一種形式是各向同性Sobel(Isotropic Sobel)算子，也有兩個(gè)，一個(gè)是檢測(cè)水平邊沿的，另一個(gè)是檢測(cè)垂直平邊沿的。各向同性Sobel算子和普通Sobel算子相比，它的位置加權(quán)系數(shù)更為準(zhǔn)確，在檢測(cè)不同方向的邊沿時(shí)梯度的幅度一致。由于建筑物圖像的特殊性，我們可以發(fā)現(xiàn)，處理該類型圖像輪廓時(shí)，并不需要對(duì)梯度方向進(jìn)行運(yùn)算，所以程序并沒有給出各向同性Sobel算子的處理方法。

由于Sobel算子是濾波算子的形式，用于提取邊緣，可以利用快速卷積函數(shù)，簡(jiǎn)單有效，因此應(yīng)用廣泛。美中不足的是，Sobel算子并沒有將圖像的主體與背景嚴(yán)格地區(qū)分開來，換言之就是Sobel算子沒有基于圖像灰度進(jìn)行處理，由于Sobel算子沒有嚴(yán)格地模擬人的視覺生理特征，所以提取的圖像輪廓有時(shí)并不能令人滿意。在觀測(cè)一幅圖像的時(shí)候，我們往往首先注意的是圖像與背景不同的部分，正是這個(gè)部分將主體突出顯示，基于該理論，我們可以給出閾值化輪廓提取算法，該算法已在數(shù)學(xué)上證明當(dāng)像素點(diǎn)滿足正態(tài)分布時(shí)所求解是最優(yōu)的。

上面的算子是利用一階導(dǎo)數(shù)的信息，屬于梯度算子范疇。

Laplacian算子：這是二階微分算子。其具有各向同性，即與坐標(biāo)軸方向無關(guān)，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后梯度結(jié)果不變。但是，其對(duì)噪聲比較敏感，所以，圖像一般先經(jīng)過平滑處理，因?yàn)槠交�處理也是用模板進(jìn)行的，所以，通常的分割算法都是把Laplacian算子和平滑算子結(jié)合起來生成一個(gè)新的模板。

Laplacian算子一般不以其原始形式用于邊緣檢測(cè)，因?yàn)槠渥鳛橐粋�(gè)二階導(dǎo)數(shù)，Laplacian算子對(duì)噪聲具有無法接受的敏感性；同時(shí)其幅值產(chǎn)生算邊緣，這是復(fù)雜的分割不希望有的結(jié)果；最后Laplacian算子不能檢測(cè)邊緣的方向；所以Laplacian在分割中所起的作用包括：（1）利用它的零交叉性質(zhì)進(jìn)行邊緣定位；（2）確定一個(gè)像素是在一條邊緣暗的一面還是亮的一面；一般使用的是高斯型拉普拉斯算子（Laplacian of a Gaussian,LoG)，由于二階導(dǎo)數(shù)是線性運(yùn)算，利用LoG卷積一幅圖像與首先使用高斯型平滑函數(shù)卷積改圖像，然后計(jì)算所得結(jié)果的拉普拉斯是一樣的。所以在LoG公式中使用高斯函數(shù)的目的就是對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，使用Laplacian算子的目的是提供一幅用零交叉確定邊緣位置的圖像；圖像的平滑處理減少了噪聲的影響并且它的主要作用還是抵消由Laplacian算子的二階導(dǎo)數(shù)引起的逐漸增加的噪聲影響。

微分算子在圖像處理中扮演重要的角色，其算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，而且邊緣檢測(cè)的效果又較好，因此這些基本的微分算子是學(xué)習(xí)圖像處理過程中的必備方法，下面著重討論幾種常見的微分算子。

Sobel算子：其主要用于邊緣檢測(cè)，在技術(shù)上它是以離散型的差分算子，用來運(yùn)算圖像亮度函數(shù)的梯度的近似值，缺點(diǎn)是Sobel算子并沒有將圖像的主題與背景嚴(yán)格地區(qū)分開來，換言之就是Sobel算子并沒有基于圖像灰度進(jìn)行處理，由于Sobel算子并沒有嚴(yán)格地模擬人的視覺生理特征，所以提取的圖像輪廓有時(shí)并不能令人滿意，算法具體實(shí)現(xiàn)很簡(jiǎn)單，就是3*3的兩個(gè)不同方向上的模板運(yùn)算，這里不再寫出。

Robert算子：根據(jù)任一相互垂直方向上的差分都用來估計(jì)梯度，Robert算子采用對(duì)角方向相鄰像素之差。

Prewitt算子：該算子與Sobel算子類似，只是權(quán)值有所變化，但兩者實(shí)現(xiàn)起來功能還是有差距的，據(jù)經(jīng)驗(yàn)得知Sobel要比Prewitt更能準(zhǔn)確檢測(cè)圖像邊緣。

Laplacian算子：拉普拉斯算子是一種二階微分算子，若只考慮邊緣點(diǎn)的位置而不考慮周圍的灰度差時(shí)可用該算子進(jìn)行檢測(cè)。對(duì)于階躍狀邊緣，其二階導(dǎo)數(shù)在邊緣點(diǎn)出現(xiàn)零交叉，并且邊緣點(diǎn)兩旁的像素的二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)。

Canny算子：該算子功能比前面幾種都要好，但是它實(shí)現(xiàn)起來較為麻煩，Canny算子是一個(gè)具有濾波，增強(qiáng)，檢測(cè)的多階段的優(yōu)化算子，在進(jìn)行處理前，Canny算子先利用高斯平滑濾波器來平滑圖像以除去噪聲，Canny分割算法采用一階偏導(dǎo)的有限差分來計(jì)算梯度幅值和方向，在處理過程中，Canny算子還將經(jīng)過一個(gè)非極大值抑制的過程，最后Canny算子還采用兩個(gè)閾值來連接邊緣。