極大似然估計(jì)概述定義與基本思想極大似然估計(jì)最早由高斯提出，并由費(fèi)歇在1912年重新闡述并命名。其核心思想在于：當(dāng)某事件已經(jīng)發(fā)生時(shí)，我們應(yīng)該選擇使該事件發(fā)生的概率最大的參數(shù)值作為估計(jì)值。簡而言之，就是通過最大化觀測(cè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率來估計(jì)模型參數(shù)。

離散型與連續(xù)型

極大似然估計(jì)可以應(yīng)用于離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，假設(shè)有若干個(gè)可能的結(jié)果A, B, C,…，若在一次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)，則認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A出現(xiàn)有利，即A出現(xiàn)的概率較大。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，則是通過最大化樣本的聯(lián)合概率密度來實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)。

求解步驟

極大似然估計(jì)的求解步驟大致包括：寫出似然函數(shù)：根據(jù)隨機(jī)變量的概率分布形式，構(gòu)建似然函數(shù)。取對(duì)數(shù)并整理：為了方便求解，通常對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，并整理成更易于處理的形式。求導(dǎo)數(shù)：對(duì)整理后的對(duì)數(shù)似然函數(shù)求導(dǎo)，得到關(guān)于參數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式。解似然方程：令導(dǎo)數(shù)等于0，解出參數(shù)值。若無法得到顯式解，則可能需要采用數(shù)值優(yōu)化方法，如梯度下降、牛頓法等。

極大似然估計(jì)在機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

廣泛應(yīng)用領(lǐng)域

在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，極大似然估計(jì)因其簡潔直觀、理論基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)而被廣泛應(yīng)用于多種模型和算法中，包括但不限于線性回歸、邏輯回歸、樸素貝葉斯、隱馬爾可夫模型等。

線性回歸

在線性回歸中，極大似然估計(jì)通過最大化觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)的概率來估計(jì)模型的參數(shù)（即斜率和截距）。具體地，假設(shè)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，則可以通過最大化對(duì)數(shù)似然函數(shù)來求解參數(shù)。這種方法與最小二乘法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，但極大似然估計(jì)提供了更直觀的概率解釋。

邏輯回歸

邏輯回歸是處理分類問題的一種常用方法。在二分類問題中，極大似然估計(jì)通過最大化觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于各自類別的概率來估計(jì)模型的參數(shù)（即權(quán)重和偏置）。邏輯回歸的輸出是概率值，因此極大似然估計(jì)天然適用于此類問題。

樸素貝葉斯

樸素貝葉斯算法是一種基于貝葉斯定理的分類方法，它假設(shè)特征之間相互獨(dú)立。在樸素貝葉斯中，極大似然估計(jì)用于估計(jì)每個(gè)類別下各個(gè)特征的條件概率分布，進(jìn)而通過貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)概率，實(shí)現(xiàn)分類。這種方法在文本分類、垃圾郵件檢測(cè)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

隱馬爾可夫模型

隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是一種用于描述隱含未知參數(shù)的馬爾可夫過程的統(tǒng)計(jì)模型。在HMM中，極大似然估計(jì)通常用于估計(jì)模型的參數(shù)，包括狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率、觀測(cè)概率和初始狀態(tài)概率。這些參數(shù)的估計(jì)對(duì)于模型的預(yù)測(cè)和診斷至關(guān)重要。